从小便听说五度相生律，但是不明白为什么五度相生，得出的是7个音阶？
后来听同学介绍巴赫，说他有一项贡献，是搞出了十二平均律。又迷糊了，以前学都是7个音阶，怎么又冒出来12个音阶了？
也看过一些乐理解释，但似懂非懂。
今天下功夫，终于有点明白了，趁热总结巩固下。
倍频
音高本质是声音的频率。根据物体振动的频率与其长度成反比的物理定律，我们做一根弦，假设其频率为f。 将其长度缩短为一半，得到的声音频率就是2f，是f的倍频。2f听起来与f一模一样，只是正好高一截。这两个音同时演奏时，很和谐。音乐家很满意。但是仅仅跟f一样的音，对于作曲是远远不够的。
于是音乐家，需要在在[f , 2f ]之间的频率中，找到一些可以作为音阶的频率。于是引出五度相生。
五度相生
五度相生这个名字描述的不太清楚。实际是根据3:2这个比例，也就是把弦三等分，然后取其中长度为2的一段，它发出的声音，就是f的3/2倍，这样得到了3/2f。这个音跟f同时演奏也很和谐，所以留下来当音阶。（sol）
接下来对3/2f，做同样操作，得到了 9/4f。注意这里要绕个弯子。因为9/4f 大于 2f 了，而我们要找的是f到2f的音，所以再根据倍频的性质，将其除以2，得到了9/8f，这个音留下来当音阶 （re）
接下来继续做相同的操作 ，得到 27/16 （la）， 81 / 64 （mi） ，243/128（si）， 至此算上do我们有6个音了。
继续找下去，我们能找到更多的音，但是我们也能看到，这个分数越来越大。实际中音乐家是通过改变弦长来改变音阶，分数越大，那么弦长就越难确定，所以往后面的操作性不大了。
不过我们还有一手反向操作，我们可以把f对应的弦，加长一半，这样得到2/3f，这个音小于f，再通过倍频的性质，乘2，得到4/3f，这样就把这个音做进了[f,2f]区间，于是也把它凑成音阶 (fa)。
这样在[f,2f)区间内，我们规定了7个音作为音阶。而在其它区间，我们直接使用这7个音的倍频，比如2f就是f的倍频，这样听起来就很和谐。
因为3/2f排在第五个，于是3:2这个关系被称为五度音，于是这种定音方法，就被称作五度相生了。
同理，按照这个说法，2f相当于是f算起的第8个音，叫做八度音，于是f到2f这个区间，就被称作一个八度。
五度相生的问题
五度相生律是通过3:2关系严格推导出来的，所以这7个音之间是很好听的，没毛病。但是随着音乐的发展，出现了转调的需求，这时五度相生的问题就出来了。
转调的意思，就是乐曲中的根音，也就是我们之前f的音高要变。计算上很简单，把f一换，就能算出新的频率。
但是乐器不能这样做啊。尤其是钢琴这种定音乐器。每个按键，做成什么音，它就只能发出这个音。
于是产生了一种新的需求，就让转调后的根音，还是落在某个现存的音阶里，这样每个音符的按键随之更换，但两两之间的音程差还是符合原来的比例。很遗憾，五度相生法得出的音阶，不支持这么搞。
早在古希腊时期，毕达哥拉斯就研究过这个问题。它是直接用五度相生法，得到了12个比值，分别为F、2187/2046F、9/8F、19683/16384F、81/64F、4/3F、729/512F、3/2F、6561/4096F、27/16F、59049/32768F、243/128F。
再往后取，发现13音是1.35f，14音是1.0136f。他俩与其说是新的音，不如说是走调的fa和do。所以音乐家为了方便起见，就决定一个八度由十二音构成。其它区间直接取这十二个音的倍频。
但是我们知道，1跟1.0136虽然接近，但还是不一样的。所以跨八度的音就并不和谐了。（有的音跟1和谐，有的音跟1.0136和谐）。另一方面，十二个音彼此之间的音程并不一致，有的大，有的小。移调后的音之间的关系就错位了。
为了缓解这个问题，音乐家决定重新划分12个音。十二平均律就是其中一种方法，它后来成为了事实标准。
十二平均律
跟五度相生相比，十二平均律其实异常简单，就是f到2f之间，根据2的12次方，拆成12个音。这样每两个音之间的比例关系完全相同，方便转调。而又刚好sol这个音在十二平均律下是1.498f，非常接近1.5f。这样也兼顾了听感。
钢琴就是按照十二平均律做的，他有7组八度，每个八度有7个白键和5个黑键，对应12个音。7个白键对应的正是五度相生法找出的那7个常用音阶。
说到这里，顺便回答一个问题，人们口中的半音，就是十二平均律下，两个相邻的音之间的音程差。为什么叫半音，也是历史原因。因为五度相生法下，就7个音。不转调的话无所谓，但是转调的话，就需要知道两个音之间的具体距离。然后就发现mi到fa到距离短，si到do的距离也短，于是发明了半音这个说法。
现在按照十二平均律的规则，mi到fa之间，就是一个半音，do到re则是两个半音。所以do到re中间，其实还应该有个音，叫做C#或者Db。（do、re、mi、fa、sol、la、si 对应的字母叫做 C、D、E、F、G、A、B ， #是提高半音， b是降半音）
发表回复